三、解答题．（共75分）

16．（10分）计算或解答

（1）﹣+|1﹣|﹣（2+）

（2）一个数的算术平方根为2m﹣6，它的平方根为±（2﹣m），求这个数．

【分析】（1）首先利用算术平方根以及立方根和绝对值的性质分别化简得出答案；

（2）利用算术平方根以及平方根的定义得出m的值进而得出答案．

【解答】解：（1）原式＝6+3+2﹣1﹣2﹣2

＝6；

（2）由题意得：2m﹣6≥0，

∴m≥3，∴m﹣2＞0，

因此2m﹣6＝﹣（2﹣m），

∴m＝4，所以这个数是（2m﹣6）2＝4．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确把握相关定义是解题关键．

17．（8分）分解因式．

（1）4x3y﹣4x2y2+xy3

（2）m3（x﹣2）+m（2﹣x）

【分析】（1）多项式共3项且有公因式，应先提取公因式，再考虑用完全平方公式分解；

（2）多项式变形为m3（x﹣2）﹣m（x﹣2），先提取公因式，再考虑用平方差公式分解．

【解答】解：（1）原式＝xy（4x2﹣4xy+y2）

＝xy（2x﹣y）2

（2）原式＝m3（x﹣2）﹣m（x﹣2）

＝m（x﹣2）（m2﹣1）

＝m（x﹣2）（m+1）（m﹣1）

【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，一般来说，多项式若有公因式先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

18．（10分）（1）计算：[（ab+1）（ab﹣2）﹣（2ab）2+2]÷（﹣ab）

（2）先化简，再求值：（x+2）2+（2x+1）（2x﹣1）﹣4x（x+1），其中x＝﹣．

【分析】（1）先算括号内的乘法，再合并同类项，最后算除法即可；

（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．

【解答】解：（1）原式＝（a2b2﹣ab﹣2﹣4a2b2+2）÷（﹣ab）

＝（﹣3a2b2﹣ab）÷（﹣ab）

＝3ab+1；

（2）解：原式＝x2+4x+4+4x2﹣1﹣4x2﹣4x

＝x2+3，

当x＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+3＝5．

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．

19．（9分）已知，a+b＝3，ab＝﹣2，求下列各式的值：

（1）（a﹣1）（b﹣1）

（2）a2+b2

（3）a﹣b

【分析】（1）把式子展开，整体代入求出结果；

（2）利用完全平方公式，把a2+b2变形为（a+b）2﹣2ab，整体代入求出结果；

（3）根据已知和（2）的结果，先求出（a﹣b）2的值，再求它的平方根．

【解答】解：（1）原式＝ab﹣a﹣b+1

＝ab﹣（a+b）+1

＝﹣2﹣3+1

＝﹣4

（2）原式＝（a+b）2﹣2ab

＝9+4

＝13

（3）∵（a﹣b）2

＝a2+b2﹣2ab

＝13+4

＝17

∴a﹣b＝±．

【点评】本题考查了整体代入和完全平方公式的变形．解决本题的关键是利用转化的思想．

20．（7分）如图，已知AB＝CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，BF＝DE，求证：AB∥CD．

【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠B＝∠D，根据平行线的判定，可得答案．

【解答】证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

∵BF＝DE，

∴BF+EF＝DE+EF，

∴BE＝DF．

在Rt△AEB和Rt△CFD中，

，

∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），

∴∠B＝∠D，

∴AB∥CD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用等式的性质得出BE＝DF是解题关键，又利用了全等三角形的判定与性质．

21．（10分）（1）化简：（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2；

（2）利用（1）题的结论，且a＝2015x+2016，b＝2015x+2017，c＝2015x+2018，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值．

【分析】（1）根据整式的混合运算的法则化简后，代入求值即可；

（2）原式变形后，利用完全平方公式配方后，将已知等式代入计算即可求出值．

【解答】（1）解：原式＝a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2+c2﹣2ac+c2＝2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc；

（2）解：原式＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）＝ [（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2]

当a＝2015x+2016，b＝2015x+2017，c＝2015x+2018，

∴原式＝×[（﹣1）2+（﹣1）2+22]＝3．

【点评】此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

22．（10分）如图，已知△ABC中，∠B＝∠C，AB＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以每秒2厘米的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由C点向A点运B动设运动时间为t（秒）（0≤t≤4）．

（1）若点P点Q的运动速度相等经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；

（2）若点P点Q的运动速度不相等，当点Q的速度是多少时，能够使△BPD与△CQP全等？

【分析】（1）依据点P点Q的运动速度相等，经过1秒，运用SAS即可得到△BPD和△CQP全等；

（2）依据BP≠CQ，△BPD≌△CQP，可得BP＝CP＝4，进而得出t＝2，a＝3，即可得到当点Q的速度是3厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．

【解答】解：（1）△BPD和△CQP全等

理由：∵t＝1秒，

∴BP＝CQ＝2，

∴CP＝8﹣BP＝6，

∵AB＝12，

∴BD＝12×＝6，

∴BD＝CP，

又∠B＝∠C，

∴△BPD≌△CQP（SAS）；

（2）∵BP≠CQ，△BPD≌△CQP，

∴BP＝CP＝4，

∴t＝2，

∴BD＝CQ＝at＝2a＝6，

∴a＝3，

∴当点Q的速度是3厘米/秒时，能够使△BPD与△CQP全等．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，解一元一次方程的应用，能求出△BPD≌△CQP是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

23．（11分）CD经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB．E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α．

（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　＝　CF；（填“＞”，“＜”或“＝”）；EF，BE，AF三条线段的数量关系是：　EF＝|BE﹣AF|　．

②如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件　∠α+∠ACB＝180°．　，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．

（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请提出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想并证明．

【分析】（1）①求出∠BEC＝∠AFC＝90°，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

②求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可；

（2）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可．

【解答】解：（1）①如图1中，

E点在F点的左侧，

∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB＝90°，

∴∠BEC＝∠AFC＝90°，

∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠CBE+∠BCE＝90°，

∴∠CBE＝∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，CE＝AF，

∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，

∴EF＝|BE﹣AF|；

故答案为＝，EF＝|BE﹣AF|．

②∠α+∠ACB＝180°时，①中两个结论仍然成立；

证明：如图2中，

∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠α+∠ACB＝180°，

∴∠CBE＝∠ACF，

在△BCE和△CAF中，

，

∴△BCE≌△CAF（AAS），

∴BE＝CF，CE＝AF，

∴EF＝CF﹣CE＝BE﹣AF，

当E在F的右侧时，同理可证EF＝AF﹣BE，

∴EF＝|BE﹣AF|；

故答案为∠α+∠ACB＝180°．

（2）结论：EF＝BE+AF．

理由：如图3中，

∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA，

又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°，

∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF，

∴∠EBC＝∠ACF，

在△BEC和△CFA中，

，

∴△BEC≌△CFA（AAS），

∴AF＝CE，BE＝CF，

∵EF＝CE+CF，

∴EF＝BE+AF．

【点评】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型．